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粗率画四个点并贯串它们造成四边形，无论这个四边形何等奇怪，接下来作念个实验：在每条边的中点上画一个点，并将这些点贯串起来。令东谈主惊诧的是，贯串中点所获取的四边形老是平行四边形，且非论原始四边形是什么表情。

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这个惬心源于一个定理：如若贯串一个三角形双方的中点，那么这条线段与第三边平行。通过这个定理的推导，贯串四边形中点的四边形一定是平行四边形。从二维参预三维，运行筹商三维多面体，迥殊是柏拉图立体。柏拉图立体有三个主要要求：每个面皆是沟通的正多边形，每个极点的相交面数沟通，且表情必须是凸的。恰当这些要求的三维物体只好五种，折柳是：正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。

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这些多面体的极点数、边数和面数之间有一个遑急的干系，称为欧拉公式：极点数 - 边数 + 面数 = 2。这个公式适用于所有凸多面体，而况即使是球体名义也恰当这个公式。这是因为球体不错变形为轻易凸多面体，它们是同胚的（homeomorphic），而欧拉示性数在同胚变换下保执不变。但是，事情变得愈加意旨——比如，四维克莱因瓶（Klein Bottle）的欧拉示性数是0。那么，除了这五个，还有别的可能吗？在二维空间中，不错有无尽多种正多边形，每个边长和角度皆相配。但在三维空间里，将这些正多边形作为多面体的面，却只好这五种知足所有要求。拓扑学中还有一些意旨的表情，比如莫比乌斯带。你只需将一条纸带扭转半圈后将两头贯串，就能获取一个迥殊迥殊的表情。如若从中间剪开一圈，你会发现效力不是两条带子，而是剩下了一条纸带。

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当今，冷漠一个问题：怎样切开莫比乌斯带才能获取两个莫比乌斯带？如若将两个莫比乌斯带缝合在通盘，效力会是什么样的表情？谜底是——获取一个克莱因瓶（Klein Bottle），这是一种只可存在于四维空间中的表情。如若你真实把两个莫比乌斯带贯串起来，只可获取克莱因瓶的三维暗示，这是咱们能作念到的极限。克莱因瓶在三维空间里看起来是自相交的，但它其实是一个不自相交的表情。这种表情不错视为一种二维流形，局部看起来像二维平面，近似于地球名义。固然地球是三维球体，但咱们站在地表上时，只可感知到二维的平面。

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接下来，将眼力转向四维空间。咱们不错类比二维生物怎样无法阐述三维物体。假定一个三维球体参预二维寰球，二维生物只可看到球体的一个圆形截面。雷同，四维物体参预三维寰球时，咱们只可看到它的三维截面。比如一个四维球体参预咱们的寰球时，咱们看到的会是一个三维球体倏得从小到大、再从大到小地散失。那么，四维柏拉图立体是怎样的呢？咱们之前筹商了三维空间中的五种柏拉图立体（如正四面体、立方体等）。在四维空间中，每一个三维柏拉图立体皆有一个四维版块。比如，通过将四面体的边链接，不错获取超四面体（hyper tetrahedron）。另外还有超立方体（hypercube）、超八面体（hyper octahedron）、超十二面体（hyper dodecahedron）和超二十面体（hyper icosahedron）。在四维空间中，还有一种新出现的柏拉图立体——八方立方体（octa-cube），其三维对应物是菱形十二面体（rhombic dodecahedron），但由于它的面不章程，不可动作三维柏拉图立体。你可能觉得跟着维度的加多，会出现更多奇异的表情。但意旨的是，当参预五维空间时，柏拉图立体的数目骤减到只好三种。六维空间还是只好三种。而当持续向更高维度探索时，你会发现，非论维度多高，皆只好三种柏拉图立体。另一方面，亲吻数（kissing number）是另一个意旨的数知识题，它描写了能紧贴一个单元球的最大单元球数目。在二维空间中，亲吻数是6。

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但在三维空间中，这个问题变得清贫了好多。数学家们花了很万古辰才笃定，三维空间的亲吻数推行上是12。

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在四维空间中，亲吻数为24，而在更高维度中，这个问题仍未全皆科罚。在五维空间，亲吻数的委果值仍未知，只可笃定其介于40到44之间；八维空间的亲吻数为240，24维空间的亲吻数则达到了196，560。此外，四维空间中莫得咱们熟识的“结”这一意见，除了庸俗结（trivial knot），即莫得委果交叉的结。由于结需要第三维度来造成交叉，四维空间中的结可通过异常维度“穿过我方”来散失，因此它不是委果的结，而是伪装成结的环。不外，在四维空间中，不错用二维的曲面来构建结。尽管咱们不知谈这种结具体长什么样，但要思造成一个委果的结，需要一个维度差为2的空间。因此，按照这个逻辑，咱们也不错把一个三维物体打成结，但需要在五维空间中才能作念到。你可能不知谈的是，所有偶数维度单元球体的体积和，它的值就是e 的 π 次方。

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由于这个级数料理，这意味着球体的体积跟着维度的加多会逐渐变小。但推行上，单元球的体积会先加多，达到五维空间的最大值，然后逐渐减少。咱们不错通过将球体镶嵌更高维度的立方体中，发现跟着维度加多，球体所占的比例不断下落，但立方体的体积保执不变。在二维空间中，将一个圆完好地镶嵌到一个正方形中，这个正方形的边长为1。效力发现，这个圆占据了正方形面积的78.5%。参预三维空间时，将一个球体镶嵌到一个边长为1的立方体中，球体只占据了52.3%的体积。加多一个维度后，球体所占的比例下落了。如若参预四维空间，将一个超球体镶嵌到一个超立方体中，球体只占据了31%的体积。但请留神，立方体的体积并莫得跟着维度加多而改动。因此，无尽维单元球体的体积会趋近于零。在高维空间中，立方体的对角线长度跟着维度加多而增大，公式为

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这显豁是发散的，而球体的直径永恒为1，因此球体在高维空间中所占的比例会越来越小。对于单元球体，体积在五维空间达到了峰值，但这种惬心仅适用于半径为1的球体，若议论不同半径的球体，峰值会出当今不同的维度。接下来，让咱们看一下球体密堆积问题。在二维空间中，最好的胪列形势不错占据91%的空间；

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三维空间中，最好胪列占据74%，

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女教师日记可是，对于三维以上的高维空间，咱们对球体的最好胪列形势所知甚少。跟着维度从3维加多到4维、5维……球体之间的舛错越来越大。但奇怪的是，在八维空间中，出现了一些新的舛错，这些舛错刚好能容纳新的球体，使球体完好地锁定到位。在八维空间的最好胪列形势下，球体不错占据约25%的空间。雷同地，咱们也知谈24维空间的最好球体密堆积形势。就像亲吻数问题一样，这些高维空间的数知识题亦然不错科罚的。如若把立方体切成小立方体并放入单元球体，接着再在它们的中心放一个相切的球体，

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这个中心圆相对于整个正方形来说迥殊小，而且隔离边际。在三维空间中，咱们将立方体切成八个小立方体，并在每个小立方体中放入一个单元球。然后，在八个单元球的中心放一个球体，使其碰劲搏斗其他八个单元球。雷同地，你会发现，中心球相对于整个立方体来说要小得多。

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跟着维度的加多，这个中心球体会越来越大，而况到达九维时，它会搏斗到立方体的范围，而在十维空间时，它破裂了立方体的范围。可是，尽管中心球体的体积破裂了立方体的范围，但其体积永恒小于立方体，直到262维时，超球体的体积才会逾越超立方体。另外，对于球体密堆积的一个推行例子是怎样最优化地胪列橙子以使用最少的保鲜膜。在低维空间，球体不错按直线或堆积的形势胪列，但在更高维空间中，这个问题变得愈加复杂。具体来说，在四维空间中，直到球体的数目达到五万到十万个之间，球体应该按照直线胪列，以减少使用的保鲜膜；而在42维空间及更高维度中，最好胪列形势会再次变成将球体的中心排成一条直线。这些数学惬心不仅科罚了几何学中的问题，还在信息论、编码表面等范围有正常利用。而况，拓扑学作为接洽空间性质的数学分支，触及复杂的高维对称性和曲面问题，是这些惬心的表面基础。 本站仅提供存储做事，所有内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。